Stormare deve il suo successo a Ingmar Bergman, che lo scoprì quando era ancora un promettente sconosciuto, che calcava il palco del Royal National Theatre di Stoccolma. Nel 1990 è stato direttore artistico associato del Tokyo Globe Theatre, dove ha diretto e organizzato numerose produzioni shakespeariane. Dal 1993 si è spostato negli States e si è trasferito definitivamente a Los Angeles.